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Vector Normalizing

Vector Length

Figure 1 shows a fixed vector with the following coordinates ie. components,
a[3 1 2]
in other words,
ax = 3,
ay = 1,
az = 2,

Figure 1

The magnitude (length) of the vector is,

    length = sqrt((ax * ax) + (ay * ay) + (az * az))
    length = sqrt(9 + 1 + 4) = 3.742

As a short-hand notation the magnitude of a vector is written with two vertical lines,

    |a| = sqrt((ax * ax) + (ay * ay) + (az * az))

Unit Vectors - Normalizing

Operations in 2D and 3D computer graphics are often performed using copies of vectors that have been normalized ie. converted to unit vectors. For example, the tutorial "RSL: Edge Effects" applies normalization before calculating the dot product of two vectors. Normalizing a vector involves two steps:  1   calculate its length, then,  2   divide each of its (xy or xyz) components by its length. 

Given vector a its xyz components are calculated as follows,

    x = ax/|a|
    y = ay/|a|
    z = az/|a| 

As a "worked example" the vector shown in figure 1 has the xyz components of 3, 1, 2 and a length of 3.742. Therefore, a normalized copy of the vector will have components,

    x = 3.0 / 3.742 = 0.802
    y = 1.0 / 3.742 = 0.267
    z = 2.0 / 3.742 = 0.534

Coding Tip

벡터 V의 크기(Length = |V|) 을 구하는 방식은 다음과 같다.


            


                |V| = root( V.x*V.x + V.y*V.y + V.z*V.z )






즉, 코드롤 표현 하자면 다음과 같다.






ex) |V| = sqrtf( V.x*V.x + V.y*V.y + V.z*V.z );






정규화(Normalize = V^)란 벡터의 크기를 1로 만드는 것이다.


수식과 코드는 다음과 같다.


            


                V^ = V / |V|


ex) V^.x = V.x / |V|;


      V^.y = V.y / |V|;


      V^.z = V.z / |V|;






여기서의 코드상의 두가지 팁이 있다.


첫째는 컴퓨터 데이타안의 보동소수점 오차이다.


크기가 0인 벡터의 정규화는 당연히 0이다.


하지만 부동소수점의 오차로 0이지만 컴퓨터는 0이라고 생각 안 하는 것이다.


그래서 오차식(epsilon) 을 두어 그 안에 들면 0이라고 간주하는 것이다.






ex) #define epsilon 1.0e-6f                /// 0.0000001f


inline bool IsZero( float val )              /// 오차식 판별 함수


{


    return ( epsilon > absf( val ) );


}






벡터의 크기값이 val 로 넘어가야 하지만,


굳이 크기만을 비교한다면 제곱급(sqrtf)를 할 필요없이 제곱만( V.x*V.x + V.y*V.y + V.z*V.z )


연산을 쓰는것이 더 좋다. 알다시피 sqrtf 함수는 다른 연산의 비해 부하가 크다.


즉, 이렇게 된다.






ex) if( IsZero( V.x*V.x + V.y*V.y + V.z*V.z ) )


            V^ = 0.0f;


      else


       {


            V^.x = V.x / |V|;


            V^.y = V.y / |V|;


            V^.z = V.z / |V|;


        }






저 IsZero 함수는 비단 정규화 뿐만 아니라 부동소수점의 계산을 하는 곳에서 빠르게 


검사하기에 좋다.( 가령, Frustum Culling 이라던가... )






둘째는 나누기(/) 연산이 컴퓨터 에서는 연산량이 높다는 것이다.


그래서 나누기 연산을 다음과 같이 해서 곱하기로 바꾸어 줄수 있다.






ex) float InvLength = 1.0f / |V|;


      V.x *= InvLength;


      V.y *= InvLength;


      V.z *= InvLength;






DirectX 에서는 속도가 빠른 라이브러리 함수들을 제공해준다.


D3DXVec3Length            = 벡터의 길이


D3DXVec3LengthSq        = 벡터의 길이의 2승 


D3DXVec3Normalzie       = 벡터의 정규화


이밖에도 벡터 관련 함수들이 작뜩 제공된다.